アクチュアリー試験に役立つ知識（５） - アクチュアリー試験数学の研究

今回は、カイ２乗分布について考えてみましょう。
前々回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081123
に述べたように

アクチュアリー試験においては、
（１）自由度 $n$ のカイ２乗分布 $\chi^2(n)$ は、 $\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ とかける。
（２） $X$ が自由度 $m$ のカイ２乗分布 $\chi^2(m)$ に従い、 $Y$ が自由度 $n$ のカイ２乗分布 $\chi^2(n)$ に従い、 $X$ と $Y$ が独立なとき、 $Z=X+Y$ は、 $m+n$ のカイ２乗分布 $\chi^2(m+n)$ に従う。
の２つに加え、
カイ２乗分布に特有な性質として、
（３） $X$ が標準正規分布（平均０、分散１の正規分布） $N(0,1)$ に従うとき $X^2$ は自由度１のカイ２乗分布 $\chi^2(1)$ に従う。
をまず、覚えましょう。
（ここまでが九九）

このことにより即座に
（４） $X_1,X_2,\cdots,X_n$ が独立に標準正規分布に従うとき、
$Y=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2$ は自由度 $n$ のカイ２乗分布 $\chi^2(n)$ に従う。
ことがわかります。

そして最終段階（試験直前）になって自由度 $n$ のカイ２乗分布 $\chi^2(n)$ の確率密度関数
（５） $\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\exp(-\frac{x}{2})x^{n/2-1}$
を覚えます。

このとき、ガンマ関数の性質
（６） $\Gamma(x+1)=x \cdot \Gamma(x)$
（７） $x=n$ （正の整数）のとき、 $\Gamma(n)=(n-1)!$
（８） $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
について押さえておかなければいけません。
なぜならガンマ関数のままの形で答えを書くことは（まず）許されないからです。
（それゆえ、出題されるのはガンマの中が整数か「整数÷２」とかける場合かのいずれかに限定され
前々回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081123
に述べた
カイ２乗分布を除くとα＝ｎ（整数）、β＝１のケースが圧倒的に多い
のようなことが言えるのです。）

前置きが長くなりましたが今回の問題（もちろん過去問）を取り上げます。

（問題）
「確率変数 $X,Y,Z$ が、すべて標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとする。
このとき、 $U=X^2+Y^2+Z^2$ の密度関数 $f(u)$ は、
$f(u)=\left{ \begin{array}{cc} \fbox{1} & (u > 0) \\ 0 & (u \le 0) \\ \end{array} \right.$
である。」

この問題は上記の（４）を押さえれば $(u > 0)$ のとき、
$f(u)=\frac{1}{2^{3/2}\Gamma(3/2)}\exp(-\frac{u}{2})u^{3/2-1}$
$=\frac{1}{2\sqrt{2}\Gamma(3/2)}\exp(-\frac{u}{2})\sqrt{u}$

であることがいえます。
ただし、 $\Gamma(\frac{3}{2})$ はそのままに出来ないので
$\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ として、
最終的には、
$f(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{u}{2})\sqrt{u}$
となります。

過去問題集の解答では３次元極座標変換（ヤコビ行列式）を用いていますが、
前回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081125
お伝えしたように
３次（以上）のヤコビ行列式を使わなくても解ける
ようになっています。

次回は、ガンマ分布とガンマ関数に関する問題を取り上げます。