アクチュアリー採用問題の解答案（１１）

またまた、大分間があいてしまいましたが、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
から始まった
「アクチュアリー採用問題の解答案」
シリーズの１１回目です。


今日は
住友生命
http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090412/1239536643
です。


基本的には高校数学の問題ですが、問題量は全般的に多めだと考えます。
問３は公務員試験に出そうな問題で、他社では見られないものです。
このような「嘘つき」がいる問題では、
（１）「嘘をついていない人」を特定する（この場合は２人が「嘘をついていない」ことが分かります）
（２）「嘘をついているかもしれない人」の候補から誰かを嘘つきに固定して話を進めてみて矛盾してら次の候補に変更
（３）上記（２）を矛盾がなくなるまで繰り返す
というような解き方になると考えられます。

また、問１（６）については図がついていなかったので
http://f.hatena.ne.jp/actuary_math/20100225200005
の赤色部分の面積として求めました。


その他の注意点は、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
のそれと同じです。


問１
(1)
(2x-3y)^3
=(2x)^3+3(2x)^2(-3y)+3(2x)(-3y)^2+(-3y)^3
=8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3
…（答）


(2)
サイコロの目が５以下になる事象は（１回目の目，２回目の目）の順に
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)
の10通り
したがって、求める確率は
1-\frac{10}{36}=\frac{13}{18}…（答）


(3)
道のりをakmとする
\frac{2a}{a/40+a/60}=\frac{240}{5}=48km/時…（答）
あるいは、40と60の調和平均で
\frac{1}{(1/40+1/60)/2}=48km/時…（答）


(4)
\int 8^{2-x}dx
=64\int 8^{-x}dx
=-\frac{64}{\log 8} 8^{-x}+C
=-\frac{64}{3 \cdot \log 2} 8^{-x}+C
（ただし、Cは積分定数）…（答）


(5)
k=x+2y \, \cdots (a)
が最大になるのは、
図
http://f.hatena.ne.jp/actuary_math/20100225200004
のように
(a)と
x^2+y^2=1 \, \cdots (b)
とがy \ge 0で接するときである。
(a)より、
x=-2y+k \, \cdots (a)'
であり、これを(b)に代入して
(-2y+k)^2+y^2=1
つまり、
5y^2-4ky+k^2-1=0 \, \cdots (c)
(a)と(b)が接するとき、(c)は重解をもつので、判別式をDとすると、
D/4=(2k)^2-5(k^2-1)=5-k^2=0
∴
k=\pm \sqrt{5}
y \ge 0となるのは、k>0のときで
k=\sqrt{5}…（答）
（なお、このとき、
x=\frac{\sqrt{5}}{5},y=\frac{2\sqrt{5}}{5}
であり、確かに問題文中のすべての不等式条件を満たしている。）


(6)
図
http://f.hatena.ne.jp/actuary_math/20100225200005
の青色と黄色の部分の面積比は、
2^2:3^2-2^2=4:5
また、図の青色と緑色の部分は合同
一方、青色＋黄色＋緑色の面積は、
2 \times 3 /2=3cm^2
∴青色＋黄色の面積は、
3 \cdot \frac{4+5}{4+5+4} =\frac{27}{13}cm^2
求める赤色の正方形の周囲には、「青色＋黄色」と合同な図形が合計４組あり、求める面積は、
3 \cdot 3-4 \cdot \frac{27}{13} =\frac{9}{13}cm^2…（答）


(7)
\pi \int_{0}^{a} (\sqrt{y})^2 dy
=\pi \int_{0}^{a} y dy
=\frac{\pi}{2}[ y^2 ]_{0}^{a}
=\frac{\pi a^2}{2}…（答）


(8)階段を１歩で１段、または２段上れる人がいる。この人が10段の階段を上る上り方は何通りか。ただし、右足と左足の区別はしないものとする。
n段の階段の上り方をa_n通りとする。
n \ge 2のとき、n段の階段の上り方は、
(a)最初の１歩を１段あがり、残りの(n-1)段を上がる
(a)最初の１歩を２段あがり、残りの(n-2)段を上がる
の２通りがあるので、
a_n=a_{n-1}+a_{n-2}…（＊）
とかける。（フィボナッチ数列）
a_1=1
a_2=2（１段×２回と２段）
なので、
（＊）により順次a_{10}まで求めると
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
となる。
つまり求める10段の上がり方は89通り…（答）


(9)45を引いても、44を足しても、平方数になるような自然数を求めよ。
求める自然数をxとおくと
x-45=a^2…(a)
x+44=b^2…(b)
（ただしa,bは整数）
(b)-(a)より
89=b^2-a^2=(b+a)(b-a)
89は素数でb+a>b-aより、
b+a=89,b-a=1
これより、
b=45（a=44）
これを(b)に代入して
x=45^2-44=1,981…（答）


(10)ある地域の天気について、晴れと雨の２通りしか無いものとする。
(i)晴れの日の次の日の天気は、2/3の確率で晴れ、1/3の確率で雨である。
(ii)雨の日の次の日には、晴れになる確率と雨になる確率は同じである。
十分長い時間が経過したとき、それぞれの天気になる確率はどうなるか。

十分長い時間が経過したときの晴れの確率をpとすると、
p=\frac{2}{3}p+\frac{1}{2}(1-p)=\frac{1}{6}p+\frac{1}{2}
これを解いて、
p=\frac{3}{5}
つまり、
十分長い時間が経過したときの晴れと雨の確率はそれぞれ
\frac{3}{5},\frac{2}{5}
である。…（答）


問２
(1)Aのコインがn枚の状態から
(i)Aがゲームに勝った場合
Aのコインが(n+1)枚となり、そこから最終的に勝つ確率はa_{n+1}
(ii)Bがゲームに勝った場合
Aのコインが(n-1)枚となり、そこから最終的に勝つ確率はa_{n-1}

(i),(ii)の確率はそれぞれp,1-pなので
a_n=pa_{n+1}+(1-p)a_{n-1}
(2)
上記(1)の答えを整理すると、
p(a_{n+1}-a_n)-(1-p)(a_n-a_{n-1})=0
つまり、
a_{n+1}-a_n=\frac{1-p}{p}(a_n-a_{n-1})
これより、j \ge 0のとき、
a_{j+1}-a_j=\left(\frac{1-p}{p}\right)^n(a_1-a_0)
∴n \ge 1のとき、
a_n=a_0+a\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{1-p}{p}\right)^j
（ただし、a=a_1-a_0とおく、）
=a\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{1-p}{p}\right)^j…（Ａ）
（∵a_0=0）

(i)
p \ne \frac{1}{2}
のとき、
（Ａ）より、
a_n=a\frac{\left(\frac{1-p}{p}\right)^n-1}{\frac{1-p}{p}-1}
=a\frac{(1-p)^n-p^n}{p^{n-1}(1-2p)}
ここで
a_N=1なので
a=\frac{p^{N-1}(1-2p)}{(1-p)^N-p^N}
∴
a_n=\frac{p^{N-n}\{(1-p)^n-p^n\}}{(1-p)^N-p^N}
これはn=0でも成り立っている。

(ii)
p = \frac{1}{2}
のとき、
（Ａ）より、
a_n=a\sum_{j=0}^{n-1}1
=a \cdot n
ここで
a_N=1なので
a=\frac{1}{N}
∴
a_n=\frac{n}{N}
これもn=0でも成り立っている。


問３
「X>Y」で「XはYより速かった」ことを表わすことにする。
観客２「B>D」
観客３「D>A」
観客５「A>B」
なので、この３人の発言が全部本当とすると「B>D>A>B」となって矛盾するので、このうちの一人が嘘をついていることになる。
逆に観客１と観客４の発言は本当であることが分かる。
観客２と観客３の発言が本当（観客５の発言が嘘）とすると
「B>D>A」となり、観客４の発言により「A>C」なので
順番は「B>D>A>C」となり、Cは４位。これは（本当であることがわかっている）観客１の発言に矛盾。
つまり、観客２と観客３の発言のいずれかが嘘で観客５の発言は本当。
観客５の発言と観客４の発言より、
「A>B>C」の順でありこれと観客１の発言とあわせると
「A>B>C>D」になる。これは観客２の発言とは合致し、観客３の発言とは合致しない。
これより、
嘘をついているのは観客３で、速かった順にA,B,C,D…（答）