2010-02-26

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
から始まった
「アクチュアリー採用問題の解答案」
シリーズですが今回で１２回目で、とりあえず今回で「中締め」です。

今日は
中央三井信託
http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090412/1239502107
です。

９０分で大問９問というのは、やや多めですが、他社の問題と類題が多数出題されているのが特徴です。（他社の方が「類題」という可能性もありますが、それにしても他社とのオーバーラップが多いと思います。）
また
問題３は、
http://twitter.com/kdmytk/status/6730060099
の一部（分散を求めていない）です。
このようなことから、今回は他社の解答の引用で済ませた箇所が多数あります。

なお、
問題８では $k$ の範囲の指定がありませんが、確率関数を全部足して1になるということから $k \ge 0$ としました。
また、問題１０の（１）は $n \ge -1$ だと積分が収束しないので、 $n$ は単なる整数ではなく「非負の整数」だったと考えられます。

その他の注意点は、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
のそれと同じです。

問題１
球９個を一列に並べた場合に３〜５番目がすべて赤である確率に等しい（１・２番目が１回目に取り出す２個の球に対応）
ところが、それは球９個を一列に並べた場合に１〜３番目がすべて赤である確率に等しく、１回で３個の球を取り出す場合にすべて赤である確率に等しい。
球が全て区別されているとして、３個の取り出し方は
${}_9C_3$ 通り
赤球５個から３個の取り出し方は
${}_5C_3$ 通り
∴求める確率は
$\frac{{}_5C_3}{{}_9C_3}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{9 \cdot 8\cdot 7}=\frac{5}{42}$ …（答）

問題２
円を $xy$ 平面上の単位円、中心を $\rm{O}$
$\rm{A}(1,0)$ とする、また、 $\rm{B}$ の $y$ 座標を非負とする。
∠ $\rm{AOB}=\beta \, (0<\beta \le \pi )$ 、∠ $\rm{AOC}=\gamma \, (0<\gamma \le 2\pi )$
とする。
$\beta$ を固定したとき、 $\triangle \rm{ABC}$ が∠ $\rm{ABC}=\pi/2$ となる直角三角形となるのは、 $\gamma=\pi$ のときで、 $\triangle \rm{ABC}$ が∠ $\rm{BAC}=\pi/2$ となる直角三角形となるのは、 $\gamma=\pi+\beta$ のときである。
逆に $\pi<\gamma<\pi+\beta$ のとき、 $\triangle \rm{ABC}$ は鋭角三角形になる。
つまり図の赤色部分が鋭角三角形になる部分（青色が鈍角三角形になる部分）であり、その確率は
$\frac{1}{4}$ …（答）

問題３
出口にでるまでの時間を表わす確率変数を $T$ とおき、 $E(T|X)$ で道 $X$ を選んだ場合に出る時間を表わすとすると、　
$E(T|A)=2,E(T|B)=3+E(T),E(T|C)=5+E(T)$
となる。
また、
$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$
なので、
$E(T)=E(T|A)*P(A)+E(T|B)*P(B)+E(T|C)*P(C)$
$=\frac{1}{3}\{2+3+E(T)+5+E(T)\}$
∴
$3E(T)=10+2*E(T)$
$E(T)=10$
つまり求める平均時間は10時間である。…（答）

問題４
住友生命
 http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100225
の問題２の(i)で
$p \to \alpha$ としたうえで $1-a_n$ （Ｂの勝利＝Ａの破産）を求めると

$1-\frac{\alpha^{N-n}\{(1-\alpha)^n-\alpha^n\}}{(1-\alpha)^N-\alpha^N}$
$=\frac{(1-\alpha)^N-\alpha^N-\alpha^{N-n}\{(1-\alpha)^n-\alpha^n\}}{(1-\alpha)^N-\alpha^N}$
$=\frac{(1-\alpha)^n\{(1-\alpha)^{N-n}-\alpha^{N-n}\}}{(1-\alpha)^N-\alpha^N}$
…（答）

問題５
東京海上日動
 http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
の問題１（６）の $p_1,p_3$
(1)
$\frac{32}{3,125}$
…（答）
(2)
$\frac{992}{3,125}$
…（答）

問題６
ベータ関数
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081204
の問題
三井生命
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100204
の問題９を参照
(2)
$a,b$ が自然数（０以上の整数）のとき、
$B(a,b)=\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}$
(1)はこれに $a=3,b=4$ を代入して
$B(a,b)=\frac{2!3!}{6!}=\frac{2 \cdot 6}{720}=\frac{1}{60}$

問題７
Ａが１回目１を出さなかったときに、Ｂが勝つ（条件付き）確率を $p$ とおく、
Ｂが２回目・３回目のいずれもで２〜６を出した時、Ａの勝つ確率は $p$ となる。
つまり、
$1-p=\left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot p$
が成り立つ。
（あるいは、
$p=1-\left(\frac{5}{6}\right)^2+ \left(\frac{5}{6}\right)^2 (1-p)$
）
これより
$p=\frac{36}{61}$
∴求める確率は、
$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}(1-p)=\frac{241}{366}$
…（答）

問題８
$E(X+1)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{18}{(k+2)(k+3)(k+4)}$
$=9\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\frac{1}{(k+2)(k+3)}-\frac{1}{(k+3)(k+4)}\right\}$
$=\frac{9}{2*3}$
$=\frac{3}{2}$
…（答）

問題９
(1)
ガンマ関数
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081202
を使って
$\int_0^{\infty}x^n \exp(-x) dx=\Gamma(n+1)=n!$
ですが、ここではそれは使わず帰納法で示すことにします。

$n$ は非負の整数のとき
$\int_0^{\infty}x^n \exp(-x) dx=n!$ …（Ａ）
であることを、数学的帰納法で証明する。

(i) $n=0$ のとき
$\int_0^{\infty}x^n \exp(-x) dx$
$=\int_0^{\infty} \exp(-x) dx$
$=-[\exp(-x)]_0^{\infty}$
$=1$
で（Ａ）は成り立つ。
(ii) $n=k \, (k \ge 0)$ のとき（Ａ）が成り立つとすると、
$n=k+1$ のとき
$\int_0^{\infty}x^n \exp(-x) dx$
$=\int_0^{\infty}x^{k+1} \exp(-x) dx$
$=-\left[x^{k+1} \exp(-x) ]_0^{\infty}+(k+1)\int_0^{\infty}x^k \exp(-x) dx$
$=(k+1)\int_0^{\infty}x^k \exp(-x) dx$
$=(k+1)\cdot k!$ （∵帰納法の仮定により）
$=(k+1)!$
∴ $n=k+1$ のときも（Ａ）は成り立つ。
(i)(ii)より $n$ は非負の整数で（Ａ）は成り立つ。
…（証終）

(2)
$x^2=t$ とおくと、 $2xdx=dt$ なので、
$\int_0^{\infty} x^3 \exp(-x^2) dx$
$=\frac{1}{2}\int_0^{\infty} t \exp(-t) dt$
$=\frac{1}{2}$
…（答）
（積分は上記(1)で $n=1$ を代入したもの）

(3)
$\sqrt{1-x^2}=t$ とおくと、 $1-x^2=t^2$ 、 $-2xdx=2tdt$ なので、
$\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} dx$
$=-\int_1^0 x^2 t^2 dt$
$=\int_0^1 t^2(1-t^2) dt$
$=\int_0^1 (t^2-t^4) dt$
$=[\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5} ]_0^1$
$=\frac{2}{15}$
…（答）

（別解）
$x^2=s$ とおくと、 $2xdx=ds$ なので、
$\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} dx$
$=\frac{1}{2}\int_0^1 s \sqrt{1-s} ds$
$=\frac{1}{2}B\left(2,\frac{3}{2}\right)$
$=\frac{\Gamma(2)\Gamma(3/2)}{2\cdot \Gamma(7/2)}$
$=\frac{\Gamma(3/2)}{2 \cdot \Gamma(7/2)}$
$=\frac{\Gamma(3/2)}{2 \cdot(3/2)\cdot(5/2) \cdot\Gamma(3/2)}$
$=\frac{2}{15}$

(4)
Ｔ＆Ｄフィナンシャル生命
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100218
の問題２の(1)で
$p=\frac{1}{5}$
を代入して
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^n}=\frac{1/5}{(4/5)^2}=\frac{5}{16}$

以上

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100208
のコメント欄で書いたように、大同生命の問題の解答については就活シーズンが終わってから付けることにいたします。

改めて問題を掲載してくださった id:actuary2 さんにこの場を借りて御礼申し上げるとともに、皆様のご健闘をお祈りいたします。

アクチュアリー試験数学の研究

アクチュアリー採用問題の解答案（１２：中締め）