生保数理（定常人口）についての問答（３：最終）

大分間があいてしまいましたが、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20090917
で予告したとおり、

図による解法をご照会したいと思います。

問題（再掲）
（生保年金数理〈1〉(理論編) isbn:4563011339 黒田耕嗣著　培風館　p178）

『定常状態にある社会において、総人口に対する出生率が1.25%で、1年間の死亡者数が2,600人で、40歳以下の人口が総人口の50％を占め、41歳以上の人の死亡率が2.4%であるとする。
(1)総人口を求めよ。
(2)41歳人口を求めよ。
(3)40歳以下の死亡者の死亡時の平均年齢を求めよ。
(4)41歳以上の死亡者の死亡時の平均年齢を求めよ。』

まず、定常社会なので、1年間の死亡者数と1年間の生存者数は等しいです。
したがって、1年間の出生者数は2,600人
2,600÷1.25%＝208,000・・・(1)の答え

次に、
(3)40歳以下（生後41年未満）の死亡者の死亡時の平均年齢を $y$
(4)41歳以上（生後41年以上）の死亡者の死亡時の平均年齢を $z$
とおきます。

このとき、図のような状況を設定します。

つまり、
(a)生後 $y$ 歳まで全員生存し、 $y$ 歳で $a$ 人死亡
(b)その後 $z$ 歳まで全員生存し、 $z$ 歳で $b$ 人死亡し、それ以上長生きする人はいない。
というものです。

この図の状況の下で、まず、41歳以上の死亡率が2.4%なので
$\frac{b}{b \cdot (z-41)}=0.024$
∴ $z=\frac{248}{3}=82.666\cdots \to 82.67$ ・・・(4)の答え

また、図の $B$ の面積＝208,000÷2＝104,000
で、
$b \cdot \left( \frac{248}{3}-41 \right)=104,000$ より、
$b=2,496$
∴ $a=2,600-b=104$
$A$ の面積＝208,000÷2＝104,000なので、
$41*2,496+104y=104,000$
∴ $y=16$ ・・・(3)の答え

となります。

試験に出てくる定常人口の問題は、このような図による解法で解けるものが少なくありません。

なお、(2)については問題の設定に不備があったので解きませんでしたが、上記の設定だと $b=2,496$ 人が答えであり、これは問題集の答えとは一致しています。

アクチュアリー試験本番においても、不備のある問題が出題されることは数は少ないですが、皆無とは言えません。
（例えばhttp://www.actuaries.jp/examin/H19exam/H19mistake.pdf）

当然そのような問題については、直接損害（当該問題）については全員正解扱いとされますが、間接損害（その問題に取り組んだことによる時間的ロスや精神的な動揺等）は補償されません。

したがって、もし本番でこのような問題に出たら、間接損害を防ぐために、上記のような「方法」で「間違いにできない答え」を見つけてそれを書いておくことをお勧めします。