一様分布・三角分布の積率母関数 - アクチュアリー試験数学の研究

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20091222
のコメントでご質問を受けた点についてお答えいたします。

$X$ が一様分布 $U(\alpha,\beta) \, (\alpha<\beta)$ に従うとき、 $X$ の積率母関数 $M_X(t)$ は、
http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.1.2.5.%CF%A2%C2%B3%B7%BF%B3%CE%CE%A8%CA%D1%BF%F4%A4%CE%CE%E3#a1f43d26
で書かれているように
$M_X(t)=\frac{\exp(\beta t)-\exp(\alpha t)}{t(\beta-\alpha)}$
であり、これは確かに $t=0$ では定義されていません。

ただし、
$M_X(t)=\frac{\exp \left\{ t(\beta-\alpha) \right\} -1}{t(\beta-\alpha)} \cdot \exp(\alpha t)$
であり、これは $t \to 0$ で、1に収束します。
（∵ $s=t(\beta-\alpha)$ とおくと、 $\lim_{s \to 0} \frac{ \exp(s) -1}{s}=1$ ）

したがって、
$M_X(t)$ は、 $M_X(0)=1$ として、 $t=0$ まで連続に拡張することが可能です。

三角分布でも事情は同じです。

上記のWIKIにも補記しておきます。

なお、アクチュアリー試験とは直接関係ないですが、ここでの $t=0$ のような点を「除去可能特異点」といいます。
http://j.mp/8VWcm4 （WikipediaのURLを縮めたものです。）

それでは、アクチュアリー試験まであと２４時間を切りましたが、受験者の皆様のご健闘を改めてお祈り申し上げます。