アクチュアリー採用問題の解答案（４） - アクチュアリー試験数学の研究

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
から始まった
「アクチュアリー採用問題の解答案」シリーズですが、今日は４回目で、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100129#c1264833219
でリクエストのあった
東京海上あんしん生命
 http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090412/1239538385
の問題に先に対応いたします。

ここでは、問題４がポイントでしょう。
まず $C$ による場合分けが必須です。
また、厳密には、常微分方程式の解の一意性を言わないと（０除算を排除できない）ので（出題された場所によっては*1、大きな）減点の恐れがあります。
他の問題は大学入試として出されてもおかしくない問題で、ここだけ常微分方程式の解の一意性（通常大学教養数学の２年生レベル）とかいうのはレベルが突出している気もするので、ここまでの議論は求められていないかも知れません。
ただし、常微分方程式の解の一意性を御存じの方は、ここで厳密な論証を書いておくと大いにアピールできると考えます。
（このような状況によって解法や記述（の厳密性）を変えるという話はまた別の機会にしたいと思います。）

その他の注意点は
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
と同じです。

問題１
199個の解を $\alpha_{1},\alpha_{2}, \cdots ,\alpha_{199}$
とする。

$\alpha_{i} \, (1 \le i \le 199)$ は、
$\alpha_{i}^{199}+10\alpha_{i}-5=0$
つまり、
$\alpha_{i}^{199}=5-10\alpha_{i}$
を満たす。
これを
$i=1,2, \cdots ,\alpha_{199}$
で足すと、
$\sum_{i=1}^{199}\alpha_{i}^{199}=995-10\sum_{i=1}^{199}\alpha_{i}$
さて、
$\sum_{i=1}^{199}\alpha_{i}$ は、解と係数の関係より、
$x^{199}+10x-5=0$ の198次の係数に等しいので=0。
∴
$\sum_{i=1}^{199}\alpha_{i}^{199}=995$ …（答）

問題２
$f(x)+1$ が $x=-1$ を三重根に持つことから、
$f(x)+1=(x+1)^3 \cdot g(x)$ とかける。
これを、 $x$ で微分すると、
$f'(x)=3(x+1)^2 \cdot g(x)+(x+1)^3 \cdot g'(x)$
となるので $f'(x)$ は、 $(x+1)^2$ で割り切れる。
同様に $f(x)-1$ について考えると、 $f'(x)$ は、 $(x-1)^2$ で割り切れる。
これらのことより
$f'(x)$ は、 $(x+1)^2(x-1)^2$ で割り切れるが、 $f'(x)$ は４次式なので、
$f'(x)=a(x+1)^2(x-1)^2=a(x^4-2x^2+1)$
とかける。
∴
$f(x)=a\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right)+b$
$f(-1)=-1,f(1)=1$ より、
$\left\{ \begin{array}{l} -\frac{8}{15}a+b=-1 \\ \frac{8}{15}a+b=1 \end{array} \right.$
これより、
$a=\frac{15}{8},b=0$
つまり、
$f(x)=\frac{15}{8}\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right)$
$=\frac{3x^5-10x^3+15x}{8}$ …（答）

問題３
与方程式を変形して
$lmn-(lm+mn+nl)+(l+m+n)-1=14$
$(l-1)(m-1)(n-1)=14$
$l-1,m-1,n-1$ は、 $l-1>m-1>n-1$ を満たす非負の整数なので、
$l-1=7,m-1=2,n-1=1$
∴
$l=8,m=3,n=2$ …（答）

問題４
$|f(y_1,x)-f(y_2,x)|=|y_1-y_1^2-y_2-y_2^2|=|y_1-y_2|\cdot|1+y_1+y_2| \le |y_1-y_2|(1+|y_1|+|y_2|)$
ここで、 $y(x_0)=R$ とすると、 $y(x)$ は微分可能ゆえ当然連続関数なので、ある $\delta>0$ が存在して、 $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |y-R|<|R|$ とできる。特に $|y|<2|R|$
つまり、
$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(y_1,x)-f(y_2,x)| <(1+2|R|)|y_1-y_2|$
とできるので、 $x_0$ の近傍ではリプシッツ条件が成立しており、この近傍では一意に解が存在する。
（例えば、
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
をご参照）
以下これらの近傍を次々とつなげていき、実数全体で解は一意に存在する。

さて、ある $x_1$ で $y(x_1)=0$ …（ａ）
だったとすると、
$y(x) \equiv 0 \,(for \, all \,x)$ …（ｂ）
は明らかに求める方程式の解であり、上記の解の一意性の議論よりこれが唯一の解である。
つまり（ａ）と（ｂ）は同値である。（（ｂ）⇒（ａ）は明らかだがその逆も成り立つ）
同様に
ある $x_2$ で $y(x_2)=1$ と
$y(x) \equiv 1 \,(for \, all \,x)$
も同値である。

これらのことから、
(i) $C=0$ のとき、
$y \equiv 0$
(ii) $C=1$ のとき、
$y \equiv 1$
(iii) $C \ne 0,1$ のとき、
上記の議論より、どの $x$ に対しても $y(x) \ne 0,1$ つまり、常に $y-y^2 \ne 0$ なので、
$\frac{1}{y-y^2}\frac{dy}{dx}=1$
とできる。
これより、
$\int \frac{1}{y-y^2}\frac{dy}{dx}dx=\int dx$
$\int \frac{dy}{y-y^2}=\int dx$
が成り立つ。
さて、
$\int \frac{dy}{y-y^2}=\int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy$
$=\log \left| \frac{y}{1-y} \right|+k$ （ $k$ は定数）*2
これより、
$\frac{y}{1-y}=a \cdot \exp(x)$ （ $a$ は定数）
が成り立ち、
$y(x)=\frac{1}{1+b \cdot \exp(-x)}$ （ $b=\frac{1}{a}$ ）・・・（ｃ）
となる。
さて
$y(0)=C$
だったので、
$y(x)=\frac{1}{1+b}=C$
∴
$b=\frac{1-C}{C}$ でありこれを（ｃ）に代入して整理すると、
$y(x)=\frac{C \cdot \exp(x)}{C \cdot \exp(x)+1-C}$ ・・・（答）
（２０１０／２／１　追記　 $C<0$ のとき、y(x)が定義できない点ができます。詳細はコメント欄をご覧ください。）
（２０１０／２／３　追記の追記　 $C>1$ のときも、y(x)が定義できない点ができます。 $C=0.5$ （赤）、 $C=-1$ （緑）、 $C=2$ （青）のグラフの外形を
http://f.hatena.ne.jp/actuary_math/20100203075605
に作ってみました。）

*1:「例えば、数学科の試験では」という意味です

*2:普通は $C$ ですが、使われているので