Yahoo!掲示板から（２）

しばらく投稿が中断してしまいましたが、今日はYahoo!掲示板からアクチュアリー試験にも出そうな話題を取り上げます。

もともとの問題は、
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bft3xbcalda53a1bca5ja1bc&sid=1835554&mid=12600
です。


（問題）
X_1,X_2,X_3,X_4を区間(0,1)の一様分布からの独立なランダム標本とし、X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)},X_{(4)}をその順序統計量とするとき、標本範囲R=X_{(n)}-X_{(1)}が\frac{1}{2}以上である確率を求めよ。また標本範囲の期待値を求めよ。
（問題文の表現を若干改変）


まず、Z=X_{(4)}とW=X_{(1)}の同時確率密度関数f(z,w)を求めます。


一般にn変数の場合、X_{(1)}とX_{(n)}の同時確率密度関数は、
http://mp-w3math.jwu.ac.jp/~konno/pdf/statha18.pdf
の系４．２より、
f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_1,x_n)
[tex:=n(n-1) \{ F(x_n)-F(x_n) \} ^{n-2} f(x_1)f(x_n) (w「結果」を覚えておけばよいでしょう。
他方（★）については、しばしば出題されるので、その結果を覚えておくことは損がないのですが、次回にその考え方を紹介します。