Yahoo!掲示板から（２）（続）

前回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081110
ご紹介した
E(X_{(n)})=\frac{n}{n+1},E(X_{(1)})=\frac{1}{n+1}・・・（★）
についてその考え方も含めて紹介します。


（命題）
X_1,X_2, \cdots ,X_nを一様分布U(0,1)に従う独立な確率変数とし、
M=\max(X_1,X_2, \cdots ,X_n)
N=\min(X_1,X_2, \cdots ,X_n)
とするとき、
E(M)=\frac{n}{n+1},E(N)=\frac{1}{n+1}


（証明）
0 \le x \le 1に対して、
F(x) = P(M \le x)= P(X_1 \le m, X_2 \le m, \cdots ,X_n \le m)
= \{ P(X_1 \le m) \} ^n=x^n

Mの確率密度関数f(x)は、
f(x)=F'(x)=n \cdot x^{n-1}
E(M)=\int_0^1 x \cdot f(x)dx=\int_0^1 n \cdot x^n dx=\frac{n}{n+1}


一方Y_i=1-X_iとおくと、Y_1,Y_2, \cdots ,Y_nも一様分布(0,1)に従う独立な確率変数であり、かつ、
N=\min(X_1,X_2, \cdots ,X_n)=1-\max(Y_1,Y_2, \cdots ,Y_n)
（マイナスにより大小関係が逆転していることに注意）
が成り立つので、
E(N)=1-E(M)=\frac{1}{n+1}
（証明終）


この問題では、分布関数F(x)を考えているのがポイントです。

ｎ個の確率変数の最大・最小を考える問題では圧倒的に出題されるのが元の分布が一様分布(0,1)であるので、この結果と考え方については覚えておいて損はないでしょう。