２００８年度アクチュアリー試験から（３） - アクチュアリー試験数学の研究

しばらく間があきましたが
「２００８年度アクチュアリー試験から」シリーズ
をあと２回続けます。

今回は問題２の（３）を考えます。
普通の（？）解答は
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20090115
及び
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20090114
のコメント欄で紹介されているブログでご確認ください。
（ただしこの部分の解答は、指定の問題集をリファーさせるようになっているようです。）

まずこのような問題への取り組みとして
「一番楽な状況を設定する」
ということがあります。

この場合は、当面 $n=2$ で考えてみます。

前半の積率母関数ですが、（Ｂ）と（Ｄ）は明らかにおかしいです。 $r$ は非負の整数であればどんな値をとることも可能ですが、 $t=r>2$ のときに対応する $\theta_t$ が存在しないからです。
となってあとは（Ａ）と（Ｃ）の比較になるのですが、
例によって、 $\theta_1=\theta_2=0$ で考えてみます。積率母関数であれば全部の変数を0にしたとき1になるはずです。
（Ａ）は $1$ で、（Ｃ）は $2^r$ であるので、
（Ａ）以外に答えはない
ことになります。

後半についてですが、 $X_1$ が二項分布 $Bi(r,p_1)$ にしたがっていることに注意しましょう。（これはこの問題の（１）で問われた事項です）
このとき $X_2=r-X_1$ なので、
$Cov(X_1,X_2)$
$=Cov(X_1,-X_1+r)$
$=-Cov(X_1,X_1)$
$=-V(X_1)$
$=-rp_1p_2$
これを満たすのは（Ｇ）と（Ｊ）です。
（（Ｊ）も $n=2$ では成り立つ）

ここで（Ｇ）と（Ｊ）を比較するために $n=2$ という制約を外して考えます。
このとき各 $X_i$ はやはり二項分布 $Bi(r,p_i)$ に従います。
したがって、 $V(r,p_i)=rp_i(1-p_i)$ です。
相関係数 $\rho(X_i,X_j)$ は、
$\rho(X_i,X_j)=\frac{Cov(X_i,X_j)}{\sqrt{rp_i(1-p_i) \cdot rp_j(1-p_j)}}$ となります。
答えが（Ｊ）だとすると、
$\rho(X_i,X_j)=-(n-1)\sqrt{\frac{p_ip_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}$
でこれは-1を超えることがあるので（例えば、 $p_i=p_j=\frac{1}{2} \,(n>2)$ ）、-1と1の間に入るという相関係数の性質に反します。
したがって
（Ｇ）以外に答えはない
ことになります。