「アクチュアリー講座数学基礎力チェックシート」の留意点

昨日
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100115
ご案内したヴェリタスさんの問題ですが、留意すべき点が見つかりましたのでお知らせいたします。

「確率１，２」
に次のような問題がありました。

$f(x)=\frac{1}{2^{n/3}\Gamma(n/3)}x^{n/3-1}\exp\left(-\frac{x}{3}\right)$
（ $n$ ：正整数）を確率密度関数とする確率変数 $x$ を考える。このとき、以下の値を求めよ。
（７）期待値　（８）分散　（９）モーメント母関数　（１０） $\ell$ 次のモーメント

（ａ）「確率変数 $x$ 」の部分は普通 $X$ と大文字で書くこと
（ｂ） $x$ の範囲が明記されていないが $(0,\infty)$ と考えられること（ $x \to -\infty$ だと発散するので）
はともかくとして、
$f(x)$ が積分すると１という確率密度関数の必要条件を満たしていません。

そのため例えば（９）モーメント母関数（積率母関数）の答えが
$\left(\frac{3}{2-6t}\right)^{n/3}$
となっていますが、これは $t=0$ で１になっていないので問題として成立していません。

ガンマ関数を意識して作られたと思いますが、ガンマ関数には決まった「型」があります。
（例えば
http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.1.2.5.%CF%A2%C2%B3%B7%BF%B3%CE%CE%A8%CA%D1%BF%F4%A4%CE%CE%E3#fcb33549
をご参照ください。）

（2010/4/20 追記
上記の問題点は2月13日に解消されています。
http://www.veri.co.jp/actuary/errata.html）