アクチュアリー採用問題の解答案（８） - アクチュアリー試験数学の研究

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
から始まった
「アクチュアリー採用問題の解答案」
シリーズの８回目です。
今日は、明治安田生命
 http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090414/1239720093
を取り上げます。

何点か注意点です。

（ａ）
基礎の（４）は答えだけでいいのであっさりと書いていますが、
なお、記述式だとこれでは減点の可能性があり、極限の存在をちゃんといわないといけません。
記述の概略を述べると
（解１）
$a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$
で定義される数列 $\{a_n\}$ について
$\{a_n\}$ は単調増加で、かつすべての $a_n$ が2より小さいことを数学的帰納法で証明することで、「上に有界な数列は収束する」*1ことにより極限の存在が示され、以下、上記の方法を適用しその値が2であることを言う。
（解２）
上記の方法で「候補」が2であることを確認した上で
$0<2-a_{n+1}=2-\sqrt{2+a_n}=\frac{2-a_n}{2+\sqrt{2+a_n}}<\frac{2-a_n}{2}$
を言って、
$0<2-a_{n}<\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(2-a_1)$
より
$\lim_{n \to \infty}(2-a_n)=0$

（ｂ）
応用の(3)ですがｅｘｐの指数は $-(x^2+y^2)$ でしょう。
また、 $x,y>0$ の範囲が入っていると思われます。（全平面だと積分すると０）
その前提で解をつけています。

（ｃ）
応用の(4)は
$x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^2+y^2}$
だと思われます。（＝のあとが $x$ ではなく $y$ ）
その前提で解をつけています。
xにすると…
http://actuary-math.co.cc/pukiwiki/index.php?test2

（ｄ）
応用の(5)は「実数解」がポイントです。
全部の解は…
http://actuary.upthx.net/download/meijiyasuda.txt

（ｅ）
数学以外の問題には解をつけていません。

その他の注意事項については今までと同じですので、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
でご確認ください。

＜数学基礎＞
(1)
二項定理
$(a+b)^n=\sum_{k=1}^{n} {}_nC_k \cdot a^k \cdot b^{n-k}$
に
$a=-1,b=1$
を代入して
$\sum_{k=1}^{n} {}_nC_k (-1)^k=0$ …（答）

(3)
$\int_0^{\pi/6}\frac{dx}{\cos x}$
$=\int_0^{\pi/6}\frac{\cos x }{\cos^2 x}dx$
$=\int_0^{\pi/6}\frac{\cos x }{1-\sin^2 x}dx$
$=\int_0^{\1/2}\frac{dt }{1-t^2 }$ （ $t=\sin x$ と置換積分すると $dx=(\cos t )dt$ ）
$=\frac{1}{2}\int_0^{\1/2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$
$=\frac{1}{2}[\log(1+t)-\log(1-t)]_0^{\1/2}$
$=\frac{1}{2}\left(\log\frac{3}{2}-\log\frac{1}{2}\right)$
$=\frac{\log 3}{2}$ …（答）

(4)
求める極限値を $a$ とすると、
$a=\sqrt{2+a}$
２乗して
$a^2=2+a$
これより $a=2,-1$ だが明らかに正なので
$a=2$ …（答）

(5)
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$
$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}$
区分求積法により、
求める極限値は、
$\int_0^1 \frac{dx}{1+x}$
$=[\log(1+x)]_0^1$
$=\log 2$ …（答）

＜数学応用＞

(1)
$t=x^2$
とおくと
$dt=2xdx$
∴
$\int_0^{\infty} x^{2n+1}\exp(-x^2)dx$
$=\frac{1}{2}\int_0^{\infty} t^n \exp(-t)dt$
$=\frac{\Gamma(n+1)}{2}$
$=\frac{n!}{2}$

(2)
「赤球４個白球１個」の箱が２つの状態を状態Ａ
「赤球５個」「赤球３個白球２個」の状態を状態Ｂ
と呼ぶことにする。
交換によりＡがＡのままに保たれる条件
「２つの箱から赤球同士を取り出す」か「２つの箱から白球同士を取り出す」のいずれかでその確率は
$\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{17}{25}$
交換によりＢからＡに移る条件は、
「『赤球３個白球２個』の箱から白球同士を取り出す」であり、その確率は
$\frac{2}{5}$
∴
$p_{n+1}=\frac{17}{25}p_{n}+\frac{2}{5}(1-p_n)$
$=\frac{7}{25}p_{n}+\frac{2}{5}$

特性方程式は
$t=\frac{7}{25}t+\frac{2}{5}$
で
$t=\frac{5}{9}$

これより、
$p_{n+1}-\frac{5}{9}=\frac{17}{25}\left(p_{n}-\frac{5}{9}\right)$

$p_{0}=1$ なので、
$p_{n}=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\left(\frac{17}{25}\right)^n$
…（答）

(3)
$x=z \cdot \cos \theta,y=z \cdot \sin \theta \, \left( z >0, 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$
とおくと、
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,\theta)}=z$
なので、
$(Z,\Theta)$ の同時密度関数 $g(z,\theta)$ は、
$g(z,\theta)=z \cdot f(z \cdot \cos \theta,z \cdot \sin \theta)$
$=z \cdot \{4 (z \cdot \cos \theta)(z \cdot \sin \theta)\} \exp(-z^2)$
$=2z^3 \cdot \exp(-z^2) \cdot \sin(2\theta)$
∴
$f(z)=\int_0^{\pi/2} g(z,\theta) d\theta$
$=-[z^3 \cdot \exp(-z^2) \cdot \cos(2\theta)]_{\theta=0}^{\pi/2}$
$=2z^3 \cdot \exp(-z^2)$ …（答）

(4)
原方程式は、
$x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^2+y^2}$ …（Ａ）
$x<0$ のとき
$z=-x$ とおくと
（Ａ）は
$z\frac{dy}{dz}=y+\sqrt{z^2+y^2}$
となり、原方程式と同じ形である…（Ｂ）
ことに注意する。

$x=0$ のとき、
（Ａ）は、
$0=y+\sqrt{y^2}=y+|y|$
なので、 $y \le 0$
$x=0$ のときの $y$ の値を $-a \,(a \ge 0)$ …（Ｃ）
とおく。

次に
$x>0$ のとき（Ａ）の両辺を $x$ で割ると
$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}$
$t=\frac{y}{x}$ …（Ｄ）
とおくと、
$\frac{dy}{dx}=t+\sqrt{1+t^2}$ …（Ｅ）
（Ｄ）より
$y=xt$
であり、これを $x$ で微分すると、
$\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$
これを（Ｅ）に代入して
$x\frac{dt}{dx}=\sqrt{1+t^2}$
つまり、
$\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{dx}{x}$
$\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\log(t+\sqrt{1+t^2})+C$ （Cは積分定数）
（ http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100122 参照）
なので、
$\log x=\log(t+\sqrt{1+t^2})+C$
つまり
$t+\sqrt{1+t^2}=kx$ （ $k>0$ は定数）
となる。
これより
$y+\sqrt{x^2+y^2}=kx^2$
$x^2+y^2=(kx^2-y)^2=k^2x^4-2kx^2y+y^2$
$y=\frac{k}{2}x^2-\frac{1}{2k}$
$x \to 0$ のとき
$y \to -\frac{1}{2k}$
より、
$-a=-\frac{1}{2k}$ （（Ｃ）より）
$k=\frac{1}{2a}$
つまり、
$y=\frac{x^2}{4a}-a$
（Ｂ）より、これは $x \le 0$ でも（Ａ）の解になっている。