年金数理に関する往復書簡 - アクチュアリー試験数学の研究

ブログの読者の方から年金数理に関するご質問をいただき、何度か（電子メールで）往復書簡をしたので、ご質問者の了解を得て掲載いたします。
ご質問者の方は生保数理に合格されていて一定程度の知識のある方ですが、同じような疑問をもたれている方もあるかも知れませんのでお役に立てれば幸いです。

＜留意事項＞
（１）私は年金数理の専門家ではなく年金数理を受験したのも今から１０年以上も前であることはご了解ください。
（その後アクチュアリー試験の指導をしていたことがあるので年金数理のテキスト等を見直したことはありますが）
（２）また、一連のやりとりの最後に書いてありますが、私は、企業年金会計／退職給付会計については専門外なので、企業年金会計／退職給付会計そのものを掘り下げられることはご勘弁ください。
（３）挨拶など質問と関係ない部分は省略しています。また丸数字などいわゆる機種依存文字などについて文意を変えない範囲で変更しているところがあります。
（４）原文はすべてテキスト打ちですが、算式等で適宜「はてなダイヤリー」の機能を活用しています。

質問１
たびたび申し訳ありません。もしお分かりでしたら教えていただきたいのですが。
年金数理の開放型総合保険料式についてです。
開放型総合保険料式には制度導入時に４つのパターンがあります（導入時 $F_n=0$ ）

(1)退職者にも給付し、過去勤務期間を通算する。
$P_n^{(1)}=\frac{S^p+S^a+S^f-F_n}{G^a+G^f}$

(2)退職者にも給付せず、過去勤務期間は通算しない。
$P_n^{(2)}=\frac{S^a+S^f-F_n}{G^a+G^f}$

(3)在職中の被保険者の過去勤務期間を通算しない。
$P_n^{(3)}=\frac{S^a_{FS}+S^f-F_n}{G^a+G^f}$

(4)給付の対象者を将来の被保険者のみに限る。
$P_n^{(4)}=\frac{S^f-F_n}{G^a+G^f}$

とあります。

Ｑ１．定常になるまでは、このパターンということなのでしょうか？
定常になったら $P_n^{(1)}$ と同じく、
$P_n=\frac{S^p+S^a+S^f-F_n}{G^a+G^f}$
になるのでしょうか？
それとも定常になっても(1)〜(4)のパターンが適用されるのでしょうか？

ちなみに生保年金数理〈2〉理論・実務編
という本のＰ107の13行目には、”掛金についても制度導入時に定めた掛金を年度の経過にかかわらず適用することになる”とあり、
$P_n^{(1)}$ と同じにならない様なことが書いてあるのにもかかわらず、Ｐ108の（5.87）では $P_n^{(1)}$ が書いてあり解らなくなりました。

Ｑ２．教科書には(1)〜(4)の $V$ が記載されておらず、 $V$ の式がわからず困っています。
それぞれ、
$V=S^p+S^a+S^f-P(G^a+G^f)$ （ $P$ ：は(1)〜(4)につきそれぞれ $P_n^{(1)}$ 〜 $P_n^{(4)}$ ）なのでしょうか？
それとも、
(1) $V_n=S^p+S^a+S^f-P_n^{(1)}(G^a+G^f)$
(2) $V_n=S^a+S^f-P_n^{(2)}(G^a+G^f)$
(3) $V_n=S^a_{FS}+S^f-P_n^{(3)}(G^a+G^f)$
(4) $V_n=S^f-P_n^{(4)}(G^a+G^f)$
となるのでしょうか？
ちなみに $F$ もどうすればよいか教えていただけると大変ありがたいです。

回答１

「（閉鎖型）総合保険料方式」（テキスト（アクチュアリー会指定の教科書を指します：以下同じ）ｐ７６〜ｐ７９）
と
「開放型総合保険料方式」（テキストｐ８７〜ｐ９１）
とを混同されているのではないかと懸念されます。
単に「総合保険料方式」といった場合は「閉鎖型総合保険料方式」を指します。

「開放型」総合保険料方式については私の持っている限りの書物
（テキスト、
生保年金数理〈2〉理論・実務編
 年金数理概論
）では、 $F_n$ のような「数列」で保険料を定義しておらず、保険料は一定になっています。
もしそれ以外の本でそのような記述があればできれば当該ページをスキャンして送ってくださるとありがたいです。

＞
生保年金数理〈2〉理論・実務編
＞という本のＰ107の13行目には、”掛金についても制度導入時に定めた掛金を年度の経過にかかわらず適用することになる”
というのは４つのパターンごとで年間保険料は違うが、一旦決めた保険料を毎年適用する（特別保険料はなし）という意味だと考えられます。

その一定の保険料がそれぞれのパターンによって異なることになります。
生保年金数理〈2〉理論・実務編
の式（５．８７）について ${}^{o}F$ がありますが、この値がそれぞれのパターンで違うため保険料が異なってきます。

具体的な（定常状態での）積立金＝責任準備金（利差損益等は考えないとすると）
については極限方程式
$C+d \cdot F=B$
を適用することによって求めることができます。

質問２

Ｑ１．
生保年金数理〈2〉理論・実務編
のｐ１０８によれば、開放型総合保険料式の定常状態の保険料は（5.87）式
${}^{o}P=\frac{S^p+S^a+S^f- ^oF}{G^a+G^f}$
の様に表現できるとあります。

ともすれば、
＞４つのパターンごとで年間保険料は違うが、一旦決めた保険料を毎年適用する（特別保険料はなし）という意味だと考えられます。
という説明がつかない様な気がしてしまいます。
４つのパターンが定常状態ではひとつのパターンに落ち着くということなのでしょうか？（定常になった瞬間に（5.87）式になってしまうのでしょうか？）

Ｑ２．
＞具体的な（定常状態での）積立金＝責任準備金（利差損益等は考えないとすると）
＞については極限方程式 $C+d \cdot F=B$ を適用することによって求めることができます。
という点についてなのですが、
＞利差損益等は考えないとすると
とありますが、 $F=V$ が成立する場合は、利差損益等を考えないとは、どういう意味なのでしょうか？
あくまでも $F,V$ 計算時の予定利率、予定死亡率通りに事が進まないと $F=V$ は定常で成立しないという意味なのでしょうか？

回答２

＞開放型総合保険料式の定常状態の保険料は（5.87）式
＞ ${}^{o}P=\frac{S^p+S^a+S^f- ^oF}{G^a+G^f}$
＞の様に表現できるとあります。
＞ともすれば、
＞＞４つのパターンごとで年間保険料は違うが、一旦決めた保険料を毎年適用する（特別保険料はなし）という意味だと考えられます。
＞という説明がつかない様な気がしてしまいます。
＞４つのパターンが定常状態ではひとつのパターンに落ち着くということなのでしょうか？
＞（定常になった瞬間に（5.87）式になってしまうのでしょうか？）

４つのパターンは１つに落ち着くということではありません。
（5.87）は一つの式で書いていますが、 ${}^{o}F$ が４つのパターンで異なり、したがって、 ${}^{o}P$ も違う）ということです。
具体的には、

＞(1)退職者にも給付し、過去勤務期間を通算する。
${}^{o}F=0$

＞(2)退職者にも給付せず、過去勤務期間は通算しない。
${}^{o}F=S^p$

＞(3)在職中の被保険者の過去勤務期間を通算しない。
${}^{o}F=S^p+S^a_{PS}$

＞(4)給付の対象者を将来の被保険者のみに限る。
${}^{o}F=S^p+S^a$

ということです。

＞利差損益等を考えないとは、どういう意味なのでしょうか？
＞あくまでも $F,V$ 計算時の予定利率、予定死亡率通りに事が進まないと $F=V$ は定常で成立しないという意味なのでしょうか？

そのとおりです。
予定利率、予定死亡率通りに事が進まずかつ特別保険料も領収しないと、
未積立債務 $U=V-F$ （テキストｐ７２）
が生じるということです。

質問３
Ｑ．ただ一点のみ
＞特別保険料も領収しないと、未積立債務 $U=V-F$ （テキストｐ７２）が生じるということです。
という点なのですが、特別保険料の徴収というのは過去勤務債務を無くすことという理解です。しかし実際には現金の入りが無いように思います。
私の理解では $F$ は会社に留保された現金であり（初年度 $F=0$ で $(F_n+C)(1+i)-B=F_{n+1}$ であることから）、 $V$ と同額を積み立てておくべきであるもの。
また $V$ に不足する額は過去勤務債務（以下 $PSL$ ）を年金制度導入時に積み、 $V$ と一致しているときは $PSL$ を積まない。 $PSL$ は将来に渡って0にする。とう理解です。
つまり年金制度導入時において、仮に $PSL=100$ とし、10年で償却するとすると（以下、仕訳で書くと）
制度導入時：

$F$ 100

$PSL$ 100

一年後：

$PSL$ 100/10=10

特別保険料 10

となり特別保険料は現金の裏づけがない保険料になります。
すると $F$ が会社に留保された現金ではないように思います。
私の $F$ に対する理解がまちがっているのでしょうか？

Ｑ２．また、関連する話なのですが、 $PSL$ がある場合のファクラーの再帰式が $F$ と $V$ で
$(F_n+C^n+C^s)(1+i)-B=F_{n+1}, \ (V_n+C^n)(1+i)-B=V_{n+1}$
の様に異なるのは何故なのでしょうか？
（ $C^n$ は標準保険料、 $C^s$ は特別保険料；引用者注ここは原文ではＣ標、Ｃ特と日本語で書いてあったのですが、はてなダイヤリーのtex記法では日本語が使えないのでnormalとspecialの頭文字をとってn及びsと表記しました。）
（Ｈ１３（１４）過去問で書いてありました）

回答３

＞ただ一点のみ
＞＞特別保険料も領収しないと、未積立債務 $U=V-F$ （テキストｐ７２）が生じるということです。
＞という点なのですが、特別保険料の徴収というのは過去勤務債務を無くすことという理解です。しかし実際には現金の入りが無いように思います。
＞私の理解では $F$ は会社に留保された現金であり（初年度 $F=0$ で $(F_n+C)(1+i)-B=F_{n+1}$ であることから）、 $V$ と同額を積み立てておくべきであるもの。
＞また $V$ に不足する額は過去勤務債務（以下 $PSL$ ）を年金制度導入時に積み、 $V$ と一致しているときは $PSL$ を積まない。 $PSL$ は将来に渡って0にする。とう理解です。
＞つまり年金制度導入時において、仮に $PSL=100$ とし、10年で償却するとすると（以下、仕訳で書くと）
＞制度導入時：

$F$ 100

$PSL$ 100

＞一年後：

$PSL$ 100/10=10

特別保険料 10

＞となり特別保険料は現金の裏づけがない保険料になります。
＞すると $F$ が会社に留保された現金ではないように思います。
＞私の $F$ に対する理解がまちがっているのでしょうか？

$PSL$ というのは「積む」ものではありません。
資産（積立金）と負債（責任準備金）の差額として認識するということです。
ご提示の例だと（仮に責任準備金がかわらないとして）

制度導入の貸借対照表

資産の部	負債の部
現金（ $F$ ） 0	責任準備金（ $V$ ） 100
	純資産の部
	欠損金 △100
	負債及び純資産の部
	100+△100=0

１年後の仕訳

借方	貸方
現金 10	特別保険料（収益勘定）10

（→この１０で欠損金を減らしている。）

１年後の貸借対照表

資産の部	負債の部
現金（ $F$ ）10	責任準備金（ $V$ ） 100
	純資産の部
	欠損金 △ 90
	負債及び純資産の部
	100+△90=10

となります。

＞Ｑ２．また、関連する話なのですが、 $PSL$ がある場合のファクラーの再帰式が $F$ と $V$ で
＞ $(F_n+C^n+C^s)(1+i)-B=F_{n+1}, (V_n+C^n)(1+i)-B=V_{n+1}$
＞の様に異なるのは何故なのでしょうか？
＞（ $C^n$ は標準保険料、 $C^s$ は特別保険料）
＞（Ｈ１３（１４）過去問で書いてありました）
テキストｐ７３下の図をご覧ください。
給付現価と標準保険料収入現価の差額が責任準備金なのでＶの再帰式には特別保険料が入ってきません。
一方Ｆは会社の全体の積立金なので、特別保険料も含めて算入されます。
（なお、この問題では予定利率＝実際利率なのだと考えられますが、予定利率と実際利率が違う場合は、 $F$ のほうだけ実際利率が適用されます。）

質問４
Ｑ１．なるほど、特別保険料は現金の入りがあるのですね。大変勉強になりました。
つまり、 $PSL$ の分 $F$ を期首に積みましたりはしない、かつ $PSL$ は繰越欠損金or剰余金と読み替えて良いということなのでしょうか？
Ｑ２．”一方Ｆは会社の全体の積立金なので、特別保険料も含めて算入されます。”
これは入ってきた現金を全て年金基金に拠出して、現金を $F$ に振り返ることをしているからということなのでしょうか？
ちなみに、同様の式がＨ１７（２）の過去問にありました。
ある年金制度において年度末時点の $F$ が $V$ を下まわるとき、その下回る額の一定割合 $r$ に相当する額を翌年度末に特別保険料として拠出します。この制度が定常状態である場合の
年度末 $F$ /年度末 $V$ をあらわす算式を選べ。ただし、予定利率 $i$ 、運用利回り $j$ で期初払い、特別保険料の拠出は年度末という問題がありました。この問題では、定常状態であるはず期首に $PSL$ が存在しているのでしょうか？定常状態の定義は $V=F$ のはずなのに…。しかし何故か定常状態と同じように $F$ と $V$ の極限方程式は成立していました。
$(F+C^n-B)(1+j)+C^s=F, (F+C^n-B)(1+i)=V, C^s=r(V-F)$
と解答には書いてありました。
（引用者注ここの $C^n$ や $C^p$ も上と同じです。）
度々申し訳ございません。

回答４
＞これは入ってきた現金を全て年金基金に拠出して、
そのとおりです。年金基金以外に行く場所はありません。

＞現金を $F$ に振り返ることをしているからということなのでしょうか？
$F$ はFundの略で年金資産を指します。現金も資産の一つです。
実際には、現金のままで持っておく部分は最小限にしてその他の資産（債券や株式等）に振り替えることになると思いますが、 $F$ の中身が変わるだけで合計額が変わるわけではありません。

＞ちなみに、同様の式がＨ１７（２）の過去問にありました。
＞ある年金制度において年度末時点の $F$ が $V$ を下まわるとき、その下回る額の一定割合 $r$ に相当する額を翌年度末に特別保険料として拠出します。
＞この制度が定常状態である場合の年度末 $F$ /年度末 $V$ をあらわす算式を選べ。
＞ただし、予定利率 $i$ 、運用利回り $j$ で期初払い、特別保険料の拠出は年度末
＞という問題がありました。
＞この問題では、定常状態であるはず期首に $PSL$ が存在しているのでしょうか？定常状態の定義は $V=F$ のはずなのに…。
＞しかし何故か定常状態と同じように $F$ と $V$ の極限方程式は成立していました。
＞ $(F+C^n-B)(1+j)+C^s=F,(F+C^n-B)(1+i)=V,C^s=r(V-F)$
＞と解答には書いてありました。

「定常」というのはここでは資産（ $F$ ）、負債（ $V$ ）の額が年始と年末かわらないということを指していると解釈されます。
つまり、[tex:F