アクチュアリー試験に役立つ知識（１） - アクチュアリー試験数学の研究

前回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20081119
の予告どおり
アクチュアリー試験までもう１ヶ月近くになっているので、試験に役立つ知識をいくつかご紹介していきたいと思います。

今回は、大分前
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20080919
に保留にしていた
（問題：再掲）
「１家族に子供が $n$ 人いる確率は[tex:(1-p)p^n \, (n \ge 0,0（３） $N$ が負の二項分布 $NB(k,q)$ に従うとき、 $S$ は負の二項分布 $NB(k,pq)$ に従う。
（３） $N$ が負の二項分布 $NB(k,q)$ に従うとき、 $S$ は負の二項分布 $NB(k,\frac{q}{p+q-pq})$ に従う。
（2009/7/11 訂正）

上記の問題は（３）のケースで
$p \rightarrow \frac{1}{2},q \rightarrow (1-p)$
という置き換えで解決することが分かります。
（2009/7/11 訂正）

さて、（命題）の証明ですが、ここでは概略だけ述べます。
アクチュアリー会の教科書「損保数理」（平成２１年７月改訂版）のｐ．ｐ．２−１１〜２−１２にある次の記述を利用します。
（「損保数理」の改訂に伴いイタリック部分を２００９年８月１日に追加・変更。旧版ではｐ．ｐ．２−８〜２−９）

「
（ａ）一定期間内に発生するクレームの件数を表す確率変数 $N$
（ｂ） $i$ 番目のクレーム額を確率変数 $X_i$
（ｃ）各 $X_i$ は同一の分布 $X$ に従う。
（ｄ）確率変数 $N,X_1,X_2,\cdots$ は互いに独立
という前提の下で、クレーム総額
$S=X_1+X_2+\cdots+X_N$
の期待値、分散、積率母関数が、それぞれ
$E(S)=E(X)E(N)$
$V(S)=V(X)E(N)+\{ E(X) \}^2 E(N)$
$M_S(t)=M_N \{ \log M_X(t) \}$
となる」

クレームの件数→卵の個数、 $i$ 番目のクレーム額→ $i$ 番目の卵から孵る雛の数（孵ったら1、孵らなかったら0）と読みかえます。

つまり、 $X$ が２項分布 $Bi(1,p)$ （つまり、成功確率 $p$ のベルヌーイ試行１回分）として、
$M_X(t)=E(e^{tX})=p \cdot e^t+1-p$
となるので、それを利用して、 $M_S(t)$ を求めることになります。

さて、もとの「命題」に戻ると、特に（１）が重要です。
このパターンは過去何度か出題があります。

例えば、
（問題）
「年間の入院件数は平均値 $\lambda$ のポアソン分布に従い、入院したときの入院者の年齢が60歳以上である確率は $p$ とする。60歳以上で入院する人が年間 $k$ 人である確率は□である。
（ $k=0,1,2, \cdots$ ）」
といった具合です。
これなど、上記の命題（１）そのままであり、結果を知っていればそれこそ「１秒」で解くことが可能です。

あるいは、損保数理でも以下のような例があります。
（問題）
「ある保険会社の自動車保険（免責金額０）において、１契約につき１年間のクレーム件数は、パラメータ２のポアソン分布に従い、クレーム額は平均10の指数分布に従うことが分かっている。今、免責金額10を設定したとき、ある契約において１年間のクレーム件数が０となる確率を求めよ。」
これは、卵の数がクレーム件数（平均２のポワソン分布）で、
卵が孵る確率
＝クレーム額が10以上の確率
$=\frac{1}{10}\int_{10}^{\infty} \exp (-\frac{x}{10})dx$
$=\frac{1}{e}$
として、命題（１）を適用です。

「この命題の特に（１）の結果を九九のように覚えるべし」
ということであれば諸手をあげて賛成いたします。