アクチュアリー試験に役立つ知識（３） - アクチュアリー試験数学の研究

今回から数回にわたって、ガンマ分布（カイ２乗分布を含む）に考えてみましょう。

アクチュアリー試験において、ガンマ分布 $\Gamma(\alpha,\beta)$ でまず覚えておかなくてはいけないことは、平均・分散・積率母関数ではなく、

（１）再生性
$X \sim \Gamma(\alpha_1,\beta),Y \sim \Gamma(\alpha_2,\beta)$
で $X$ と $Y$ が独立のとき
$X+Y \sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$
（２）平均 $\frac{1}{\lambda}$ の指数分布 $e(\lambda)$ が $\Gamma(1,\lambda)$ とかけること
（３）自由度 $n$ のカイ二乗分布 $\chi^2(n)$ が $\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ とかけること
の３つです。

確率密度関数の式、平均、分散、積率母関数なども最終的には覚えておいたほうがよいのですが、それは直前で十分です。

実際にガンマ分布で出題されるのは、（後ほど取り上げる予定のカイ２乗分布を除くと）
α＝ｎ（整数）、β＝１・・・（★）
のケース
（確率密度関数が $f(x)=\frac{1}{(n-1)!} \cdot x^{n-1} \cdot \exp(-x)$ 、平均も分散も $n$ ）
が圧倒的に多いので、それを優先して覚えるべきです。

過去問における出題例は以下のようになります。（いずれも（★）に該当するものであることにご注意ください。）

（例題１）
「確率変数 $X,Y$ が互いに独立で、それぞれの確率密度関数が
$f_1(x)=x \cdot e^{-x} \, (x>0)$
$f_2(y)=e^{-y} \, (y>0)$
であるとき
$U=X+Y$ の確率密度関数は $g(u)=$ □ $(u>0)$ である。」

$X \sim \Gamma(2,1),Y \sim \Gamma(1,1)$ なので、
$U=X+Y \sim \Gamma(3,1)$
であり、
$g(u)=\frac{1}{(3-1)!} \cdot u^{3-1} \cdot \exp(-u) =\frac{1}{2} \cdot u^2 \cdot \exp(-u)$
となることがわかります。