アクチュアリー試験に役立つ知識（７） - アクチュアリー試験数学の研究

今回はベータ関数について考えます。

アクチュアリー試験においては、次のような事項が基本になります。

（１） $\alpha,\beta>0$ に対して、
$B(\alpha,\beta)=\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$
で定義される $B(\alpha,\beta)$ をベータ関数という。
（２） $B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$
これより特に、
（３）
$\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=B(m+1,n+1)$
$=\frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}$
$=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$
が分かります。

その上で、以下の問題（もちろん過去問）をみてみます。

（問題）
[tex:f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 120xy(1-x-y) & (0１０分以内に（何度も申し上げていますが http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20080815 をご覧ください）
かつ
正確に
計算することは極めて困難であると考えられます。