アクチュアリー試験に役立つ知識（８） - アクチュアリー試験数学の研究

今回はコーシー・シュワルツ（Cauchy-Schwarz）の不等式をとりあげます。

コーシー・シュワルツの不等式とは、
「実数 $a_1,a_2, \cdots ,a_n,x_1,x_2, \cdots ,x_n$ に対し、
$(a_1x_1+a_2x_2+ \cdots +a_nx_n)^2$
$\le (a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2)$
かつ、等号の成立は、ある定数 $\alpha$ が存在して
$(a_1,a_2, \cdots,a_n)=\alpha(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ とかける場合のみ。」
というものです。

高校数学で習ったと思われる事項ですが、これを使わずにもっと程度の高い（？）道具に手を出すケースが少なくないようです。

この問題の適用例を考えてみましょう。当然過去問からです。

（問題）
$X_1,X_2\cdots,X_n$ が互いに独立でいずれも母平均 $\theta$ の不偏推定量とする。

(1) $Y=\sum_{i=1}^na_iX_i$ が $\theta$ の不偏推定量であるために必要な $a_1,\cdots,a_n$ の条件を求めよ。

(2) 各 $X_i$ の分散が母分散 $\sigma^2$ であるとする。 $Y=\sum_{i=1}^na_iX_i$ が $\theta$ の不偏推定量であるとき、 $V(Y)$ を最小とする $(a_i,\cdots,a_n)$ および $V(Y)$ の最小値を求めよ。

まず(1)ですが、
$\theta=E(Y)=\sum_{i=1}^na_iE(X_i)=\theta \left(\sum_{i=1}^na_i \right)$
が成り立つので、
$\sum_{i=1}^na_i=1$ ・・・（ａ）
が答えです。

問題は(2)です。
$V(Y)=\sum_{i=1}^n a_i^2V(X_i)$ （∵各 $X_i$ は独立）
$=\sigma^2 \left(\sum_{i=1}^na_i^2 \right)$
となるので、
（ａ）の条件の下で、
$=\sum_{i=1}^na_i^2$
の最小値を考えればよいことになります。

コーシー・シュワルツの不等式より、
$(a_1 \cdot 1+a_2 \cdot 1+ \cdots +a_n \cdot 1)^2$
$\le (a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(1^2+1^2+ \cdots +1^2)$
で等号は、
ある定数 $\alpha$ が存在して
$(a_1,a_2, \cdots,a_n)=\alpha(1,1, \cdots ,1)$ とかける場合のみなので、

$a_1=a_2= \cdots=a_n=\frac{1}{n}$ のとき最小値をとり、
そのとき、
$V(Y)=\frac{\sigma^2}{n}$ であることがわかります。

過去問題集の答えでは、これをラグランジュ（Lagrange）の未定乗数法を用いて解いています。
むろんそれでも解けないことはないのですが、
コーシー・シュワルツの不等式を使うと早くかつ確実に解けます。