アクチュアリー試験受験の知恵（１２）

今回は「状況に応じた解き方」というテーマで考えます。


野球の打撃練習では、単にバットを振るだけではなく、「初回、同点、ノーアウト、ランナー２塁」「最終回（９回）、１点差で負けている、ワンアウト、ランナー１・３塁」などの状況を設定した練習が行われることがあるといいます。
アクチュアリー試験（だけではないのですが）でも、残り時間その他によって違った「解き方」が適用できる余地が生じることは当然のことです。


前回とりあげた問題
「
箱の中に1,2,3,\cdots,11なる番号のついた札が1枚ずつ、合計11枚入っている。この箱から非復元抽出によって無作為に3枚の札を取り出したときに得られる番号の和の分散は□である。
(A)\frac{8}{3}
(B)\frac{10}{3}
(C)8
(D)10
(E)20
(F)24
(G)\frac{80}{3}
(H)30
」
について
「有限母集団からの非復元抽出」
http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.2.1.4.%C9%B8%CB%DC%CA%BF%B6%D1%A1%A6%C9%B8%CB%DC%CA%AC%BB%B6%A1%A6%C9%D4%CA%D0%CA%AC%BB%B6%A1%A2%CD%AD%B8%C2%CA%EC%BD%B8%C3%C4#r6d8e94a

を知らなかったとして、

（ａ）３０分くらいかけてもいいから確実に正解を得たい
（ｂ）５分以内に答えを出したいが、単に８個の答えから出鱈目に選ぶ（この場合は確率\frac{1}{8}よりは確率の高い答えを出したい。
（ｃ）１５分〜２０分で何とか正解に近づきたい

というそれぞれ状況でどう「解」けばよいかを考えてみます。


（ａ）ですが、
１１個の数値から３個を選ぶ選び方は、{}_{11}C_3=165とおりなので、これらを全部書き出し２乗和を計算すれば３０分あれば可能でしょう。
（書き出し＋２乗和の計算に１個10秒かかっても、10×165＝1,650秒＝27分30秒）


（ｂ）ですが、
（ア）１枚の札を取った場合の分散が10で、どう考えてもそれより分散が大きくなるはずだから(A)〜(D)以下の答えは却下
（イ）３枚の札を復元抽出で取った場合の分散が10×３=30で、これとは等しくないはずだから、(H)も却下
（ウ）２枚の札を復元抽出で取った場合の分散は10×２=20で、これよりは大きくなると考えられる、(E)も却下
と考えて、(F)か(G)のどちらかを選ぶ
ことであれば５分以内に可能でしょう。

（ｃ）については、公式に頼らずこの場合だけの計算を落ち着いてやり直すことが考えられます。


X_1,X_2,X_3をそれぞれ、１枚目〜３枚目の札の数とし、X=X_1+X_2+X_3とします。
V(X)が求めるものです。


このとき、
E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=6
E(X)=E(X_1+X_2+X_3)=18
E(X_1^2)=E(X_2^2)=E(X_3^2)=\frac{11 \cdot 12 \cdot 23}{6 \cdot 11}=46
E(X_1 \cdot X_2)=E(X_2 \cdot X_3)=E(X_3 \cdot X_1)
=\left( \sum_{1 \le i,j \le 11,i \ne j}ij \right)/\left( \sum_{1 \le i,j \le 11,i \ne j}1 \right)
=\left( \sum_{1 \le i,j \le 11}ij - \sum_{i=1}^{11}i^2 \right)/\left( \sum_{1 \le i,j \le 11}1 - \sum_{i=1}^{11}1 \right)
=\left\{ \left( \frac{11\cdot12}{2} \right)^2- \frac{11 \cdot12 \cdot 23}{6} \right \}/( 11^2-11)
=\frac{11^2 \cdot 6^2-11 \cdot 46}{110}
=\frac{11 \cdot 36-46}{10}
=35

これより
E(X^2)=E\{ (X_1+X_2+X_3)^2 \}
=E\{ X_1^2+X_2^2+X_3^2+2(X_1 \cdot X_2+X_1 \cdot X_2+X_3 \cdot X_1) \})
=46 \cdot 3 + 2\cdot 35 \cdot 3
=348

よって
V(X^2)=E(X^2)-\{ E(X) \}^2=348-18^2=24・・・(F)
となります。

これらのうち（ａ）は普段の勉強では絶対行ってはいけない方法です。もっと言うと、こういう解法を避けるためにこれまでいろいろと述べてきたところです。
ただし、最後の土壇場の場面、つまり
「時間が３０分あまっていてこの問題の５点があれば合格圏に届く」
ということであればこういう解法もあるということを覚えておいて損はないでしょう。


なお、アクチュアリー試験では、１時間経つと退室可能になります。
この時点であきらめて帰る（欠席だと所属会社に知れるので、受けるポーズだけとる場合もある）人が少なからずいますが、たとえ合格は難しいと悟っても、残りの２時間はこういう少ない知識から解答をひねり出す
いろいろな解法の「シミュレーション」
をするまたとない機会であり、次年度（以降）に生かされると思います。