２００８年度アクチュアリー試験から（２） - アクチュアリー試験数学の研究

しばらく間が空きましたが、２００８年度アクチュアリー試験から「例の解法」の使える問題を取り上げる２回目です。

今回は問題１の（５）をとりあげます。

この問題は、
$\bar{\rm{AB}}=Y,\bar{\rm{AC}}=Z$ とおくと、
$Y,Z$ が独立に $U(0,1)$ に従うときに
$X=(Y-Z)^2$ の確率密度関数を求める問題

というように翻訳できます。

このような問題では、いきなり確率密度関数を考えるのではなく、分布関数を考えるとうまくいくことがあります。
（分布関数を微分すると密度関数）
$X$ の分布関数を $F(x)$ とおくと、
$F(x)=P(X \le x)=P((Y-Z)^2 \le x)=P(|Y-Z| \le \sqrt{x})$
となり、それは図

の灰色部分の面積となります。
つまり、 $F(x)=1-(1-\sqrt{x})^2=2\sqrt{x}-x$
これより、 $f(x)=F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$ ・・・(C)

これは普通のやり方ですが、「例の解法」による「かわし」も存在します。

まず、当然確率密度関数を[tex:0(C)以外に答えはありえない
ということになります。