アクチュアリー試験のための年金数理人会試験解説（２）

前回
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20090225
から始まったシリーズの２回目です。

今回は平成２０年度問題１（２）です。

（問題）
（２）正規母集団 $N(\mu, 5^2)$ の平均値 $\mu$ の検定を行う。帰無仮説 $H_0:\mu=100$ を対立仮説 $H_1:\mu=105$ に対して有意水準5%で検定を行う際に、第2種の誤りをおかす確率を1%以下にするために最低限必要な標本
数は $\qed$ である。
（必要に応じて標準正規分布の値、
$u(0.01) = 2.326$
$u(0.02) = 2.054$
$u(0.03) =1.881$
$u(0.04) =1.751$
$u(0.05) =1.645$
を使用し、さらにこの間の値を使用する場合には直線補間にて使用すること。）

（ア）16
（イ）17
（ウ）18
（エ）19
（オ）20
（カ）21
（キ）22
（ク）23
（ケ）24
（コ）25

（解説）
標本数を $n$ とします。
まず帰無仮説の棄却域を求めます。
$n$ 個の $X_i$ が、独立に $N(100, 25)$ に従うとき、平均 $\bar{X}$ は、 $N(100,\frac{25}{n})$ に従います。
よって棄却域は、 $\bar{X}\ge x_0=100+u(0.05)\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{n}}$ です。
一方、 $n$ 個の $Y_i$ が、独立に $N(105, 25)$ に従うとき、平均 $\bar{Y}$ は、 $N(105,\frac{25}{n})$ に従います。
$P(\bar{Y} \le x_0) \le 0.01$ となる $n$ を求めることに相当します。
つまり、
$x_0 \le 105-u(0.01)\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{n}}$
となり、
${u(0.05)+u(0.01)}\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{n}} \le 5$
これより、
$n \ge \frac{(3.971)^2 \cdot 25}{25}=15.76 \cdots$
なので、求める答えは（ア）の16です。

参考ＵＲＬ
「第一種の誤りと第二種の誤り」
http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.2.1.3.%C2%E8%B0%EC%BC%EF%A4%CE%B8%ED%A4%EA%A4%C8%C2%E8%C6%F3%BC%EF%A4%CE%B8%ED%A4%EA
「正規分布に従う統計量」
http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.2.2.2.%C0%B5%B5%AC%CA%AC%C9%DB%A4%CB%BD%BE%A4%A6%C5%FD%B7%D7%CE%CC

なお、
「医療情報用語を覚えよう」
http://www5f.biglobe.ne.jp/~h-it/
を主宰されているNAOさんが、
第１種の誤り、第２種の誤りをそれぞれ
「あわてものの誤り」「ぼんやりものの誤り」と表現されています。
http://www5f.biglobe.ne.jp/~h-it/mlcont/mc0164.htm
これは言い得て妙だと思います。