アクチュアリー採用問題の解答案（３） - アクチュアリー試験数学の研究

アクチュアリー採用問題の解答案の前に、アクチュアリー及びそれを目指される皆様に（自分も含め）味わい深い言葉を見つけましたのでご紹介いたします。

青木理音さんの「経済学101」というブログで
「クリアに考えること」
http://rionaoki.net/2010/01/2868
という記事が掲載されています。

The scientists of today think deeply instead of clearly. One must be sane to think clearly, but one can think deeply and be quite insane. (Nikola Tesla, Modern Mechanics and Inventions. July, 1934)

を引用して

数学が使えないような分野でこそ論理的な思考の重要性は増す

との（ありがたい）お言葉を頂戴しております。

これはもちろん、
「数学を使えば（それ以外の）論理的な思考は不要」
ということを意味しません。
むしろ、
（１）数学を使うと「レール」に乗って一直線に進んでしまいそのまま走ってしまうという危険性すらある
（２）したがって、レールに乗せる前（前提の検証）、乗せた後（結果の解釈）が一層重要になる
ことに留意する必要があると考えます。

青木さんのブログで引用されているニコラ・テスラの言葉が掲載された本には、

Today's scientists have substituted mathematics for experiments, and they wander off through equation after equation, and eventually build a structure which has no relation to reality.

という言葉もあるそうです。
（ http://www.quotationspage.com/quote/34995.html ）

「structure which has no relation to reality」の例は皆様が見てこられたところにもあったはずです。（敢えてどことは申しませんが）

自分も含め、「structure which has no relation to reality」を作らぬよう十二分に注意したいところです。

閑話休題
 http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
から始まった
「アクチュアリー採用問題の解答案」シリーズの３回目で、今日は、
ソニー生命
 http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090420/1240188176
です。

大問１の小問が意外に厄介です。
特に１−（２）は、
$\frac{d}{dx}\{\log (x+\sqrt{x^2+1})\}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
ということを知っていないと何もないところからこの不定積分を求めるのは極めて困難です。
逆に後半の方の大問は高校の確率のような問題も混じっているので問題を解く順番が鍵になるかも知れません。

注意事項については今までと同じですので、
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114
でご確認ください。

大問１
（１）
$f(x)=e^x,g(x)=\sin x,h(x)=e^x+\sin x$
とおくと、
$f^{(n)}(0)=1$
$g^{(n)}(0)=\left\{ \begin{array}{ll}0 && (n \equiv 0,2 (mod \, 4) \, )\\ 1 && (n \equiv 1 (mod \, 4) \, )\\ -1 && (n \equiv 3 (mod \,4) \, ) \end{array} \right.$
∴
$h(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$
（ただし、
$a_{n}=\left\{ \begin{array}{ll}1 && (n \equiv 0,2 (mod \, 4) \, ) \\ 2 && (n \equiv 1 (mod \, 4) \, ) \\ 0 && (n \equiv 3 (mod \,4) \, ) \end{array} \right.$
）…（答）

（２）
$\sqrt{x^4-3}=t$ とおくと
$x^4-3=t^2$
$x^3dx=2tdt$
$\frac{x}{\sqrt{x^4-3}}dx=\frac{x(2t)}{x^3 \cdot t}dt=\frac{2}{x^2}$ $dt=\frac{2}{\sqrt{t^2+3}}dt$

さらに $s=\sqrt{3}t$ とおくと
$ds=\sqrt{3}dt$
$\frac{2}{\sqrt{t^2+3}}dt$
$=\frac{2}{\sqrt{3} \sqrt{3s^2+3}}ds$
$=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}ds$

∴
$\int \frac{x}{\sqrt{x^4-3}}dx$
$=\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}ds$
$=\frac{2}{3} \log (s+ \sqrt{s^2+1})+C$ （ $C$ は積分定数）
$=\frac{2}{3} \log (s+ \sqrt{s^2+1})+C$
$=\frac{2}{3} \log (\sqrt{3(x^4-3)}+\sqrt{3x^4-8})+C$
…（答）

（３）
（）の中＝
$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(2k)/n}$
これの $n \to \infty$ での極限は区分求積法により
$\int_0^1 \frac{dx}{1+2x}$
$=\frac{1}{2}[\log(1+2x)]_0^1$
$=\frac{\log 3}{2}$
…（答）

（４）
$V_1=\pi \int_{0}^{\pi} \sin ^2 x dx$
$=\pi\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos (2x)}{2} dx$
$=\pi\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin (2x)}{4} \right]_{0}^{\pi}$
$=\frac{\pi^2}{2}$
…（答）
（２０１０／０２／０８　２行目以降２分の１が２重だったので修正）

$V_2$ については、(i)〜(iii)の３通りの解法を考える。
(i)「パップス・ギュルダンの定理」
http://homepage3.nifty.com/sugaku/pappusu.htm
を知っていれば一発。
$y=\sin x (0 \le x \le \pi)$
と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は
$\int_0^\pi \sin x dx=2$
重心の $x$ 座標は明らかに $\frac{\pi}{2}$
∴
$V_2=2\pi \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2=2\pi^2$ …（答）

(ii)いわゆる「バームクーヘン積分」
http://www.saga-ed.jp/kenkyu/kenkyu_chousa/h16/15koukousugaku/rink3.htm
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int1/baumukuchen.htm
で求める。*1

$(x,x+dx)$ の部分を $y$ 軸の周りに回転させた「薄皮」の体積 $dV_2$ は、
$dV_2=2 \pi x \cdot \sin x \, dx$
∴
$V_2=2 \pi\int_0^{\pi} x \cdot \sin x \, dx$
$=-2 \pi[x\cos x]_0^{\pi}+2 \pi\int_0^{\pi} \cos x \, dx$
$=2 \pi^2+2 \pi[\sin x]_0^{\pi}$
$=2 \pi^2$ …（答）

(iii)「パップス・ギュルダンの定理」も「バームクーヘン積分」も使わない場合
$V_2=\pi\int_0^{1}\left\{\left(\pi-\sin^{-1}y\right)^2-\left(\sin^{-1}y\right)^2 \right\} dy$
$V_2=\pi\int_0^{1}(\pi^2-2\pi\sin^{-1}y)dy$
$V_2=\pi^3-2\pi^2\int_0^{1}\sin^{-1}y \, dy$
さて
$I=\int_0^{1}\sin^{-1}y \, dy$
とおくと、
$I=[y\sin^{-1}y]_0^1-\int_0^{1}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}dy$
$=[y\sin^{-1}y]_0^1=\sin^{-1}1=\frac{\pi}{2}$
（∵
また、 $x=\sin^{-1} y$ とおくと $y=\sin x$ で
$\frac{dy}{dx}=\cos x$
なので、
$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$

）
∴

$I=\int_0^{1}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}dy$
$=-\frac{1}{2}\int_1^{0}\frac{1}{\sqrt{z}}dz$
$=\frac{1}{2}\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{z}}dz$
$=[\sqrt{z}]_0^1$
$=1$
∴
$I=\frac{\pi}{2}-1$
$V_2=\pi^3-2\pi^2 \cdot I=2\pi^2$ …（答）

大問２
（２）
$\left|\begin{array}{ccc}a && b+c && bc \\ b && a+c && ca \\ c && a+b && ab \end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}a && a+b+c && bc \\ b && a+b+c && ca \\ c && a+b+c && ab \end{array}\right|$ （∵第１列目を第２列目に加えても行列式の値は不変）
$=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}a && 1 && bc \\ b && 1 && ca \\ c && 1 && ab \end{array}\right|$
ここで、
$f(a,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}a && 1 && bc \\ b && 1 && ca \\ c && 1 && ab \end{array}\right|$
とおく。
$f(a,a,c)=\left|\begin{array}{ccc}a && 1 && ac \\ a && 1 && ca \\ c && 1 && a^2 \end{array}\right|=0$ （∵第１行目と第２行目が同じ）
より
$f(a,b,c)$ は $(a-b)$ を因数にもつ。同様に考えると、
$f(a,b,c)$ は $(b-c)$ と $(c-a)$ を因数にもつ。
一方
$f(a,b,c)$ は３次式なので、
$f(a,b,c)=k(a-b)(b-c)(c-a)$ （ $k$ は定数）
とおける
ここで、a=0を代入すると、
$-k bc(b-c)=f(0,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}0 && 1 && bc \\ b && 1 && 0 \\ c && 1 && 0 \end{array}\right|$
$=bc \left|\begin{array}{cc}b && 1 \\ c && 1 \end{array}\right|$
$=bc(b-c)$
∴ $k=-1$ で
$f(a,b,c)=-(a-b)(b-c)(c-a)$
∴
$\left|\begin{array}{ccc}a && b+c && bc \\ b && a+c && ca \\ c && a+b && ab \end{array}\right|$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$ …（答）

大問３
（１）
$|\lambda I -A|$
$=\left|\begin{array}{ccc}\lambda && -\frac{1}{2} && -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} && \lambda && -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} && -\frac{1}{2} && \lambda \end{array}\right|$
$=\lambda\left|\begin{array}{cc}\lambda && -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} && \lambda \end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc} -\frac{1}{2} && -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} && \lambda \end{array}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc} -\frac{1}{2} && \lambda \\ -\frac{1}{2} && -\frac{1}{2} \end{array}\right|$ （第１行目（または第１列目）に関する小行列式展開）
$=\lambda\left(\lambda^2-\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{\lambda}{2}-\frac{1}{4} \right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda}{2}+\frac{1}{4} \right)$
$=\lambda^3-\frac{3\lambda}{4}-\frac{1}{4}$
$=(\lambda-1)\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^2$
∴固有値は、
$\lambda=1,-\frac{1}{2}$ …（答）

（２）
$A$ は対称行列で直交行列により対角化可能なので
$P^{-1}AP=B \equiv \left( \begin{array}{ccc} 1 && 0 && 0 \\ 0 && -\frac{1}{2} && 0 \\ 0 && 0 && -\frac{1}{2} \end{array}\right)$
となる直交行列 $P$ がとれる。
$y=Px$ とおくとき
$P$ が直交行列であることから、
$\{y|y=Px,x \in S^2\}=S^2$
（ここで $S^2=\{x \in \mathbb{R}^3| \, |x|=1\}$ ）
が成り立つ。
したがって、
$y=\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)$
（ただし、 $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$ ）
のとき
$c={}^txAx={}^ty({}^tPBP)y$
$=y_1^2-\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_3^2}{2}$ の最大・最小を求めればよい、
$c \le y_1^2 \le y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$
（等号はいずれも $y_2=y_3=0$ のとき）
なので、
$c$ の最大値は1（ $y_1=\pm 1,y_2=y_3=0$ のとき）]…（答）
また、
$c \ge -\frac{y_1^2+y_2^2+y_3^2}{2}=-\frac{1}{2}$
（等号はいずれも $y_1=0$ のとき）
なので、
$c$ の最大値は
$-\frac{1}{2}$
（ $y_1=0,y_2^2+y_3^2=1$ のとき）]…（答）

大問４
「ビュフォンの針」の問題
（例えば
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/buffon/buffon.htm
参照）
答えは
$p=\frac{2 \ell}{\pi h}$

大問５
１回目が赤の事象を $X$ 、黒の事象を $Y$ 、２回目が赤の事象を $Z$ で表す
$P(X)=\frac{a}{a+b}$
$P(Y)=\frac{b}{a+b}$
$P(Z|X)=\frac{a+c}{a+b+c}$
$P(Z|Y)=\frac{a}{a+b+d}$
∴求める確率 $P(X|Z)$ はベイズの定理により
$P(Z)=\frac{P(X)P(Z|X)}{P(X)P(Z|X)+P(Y)P(Z|Y)}$
$=\frac{(a+c)(a+b+d)}{a^2+(2b+c+d)a+(b^2+2bc+cd)}$ …（答）

大問６
故障した翌日に故障する確率が1/2で、故障しなかった翌日に故障する確率が1-1/3=2/3
$a_n$ を $n$ 日目に故障する確率とすると
$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{2}{3}(1-a_n)=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}a_n$
特性方程式は、
$t=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}t$
$t=\frac{4}{7}$
つまり、
$a_{n+1}-\frac{4}{7}=-\frac{1}{6}\left(a_n-\frac{4}{7}\right)$
∴
$a_{n}-\frac{4}{7}=\left(a_1-\frac{4}{7}\right)\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}$
$a_{n}-\frac{4}{7}=-\frac{4}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}$
（∵ $a_1=0$ ）
∴
$a_{n}=\frac{4}{7}\left\{1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\right\}$ …（答）