アクチュアリー採用問題の解答案（番外）

今回は「アクチュアリー採用問題の解答案」の番外編です。


前
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20091120
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20091207
に紹介したブログ
「The road of Sunshine」というブログで
このようなエントリー
http://sunshine1156.blog45.fc2.com/blog-entry-85.html
がありました。

最強マリーンの生保バージョン
（中略）
そして理系セミナー
まず数学の試験があることを当日知ったっていう笑、もはや抜き打ちでした
普通のセミナーかと思ったのに
（中略）
以下できた問題
・0〜πでsinｘとsin2xに囲まれた範囲の面積
・e^(x)*cos(x+a)のテーラー展開
・√(1−2x) の0〜1/2までの定積分
・n+2/n(n+1)2^n の無限和
・e^(x^2−x)*logxの導関数

あとは大学の微積と線形代数の問題とか

（ちなみに同社のアクチュアリー採用試験の問題
http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090412/1239538385
と解答案
http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100130
を参考までに掲載いたします。）


セミナーでも問題が出されるようなので、今後このようなセミナーに出られる方に資することを目的に、今日はこれらの問題を解いてみたいと思います。


その前に、このブログをもしご覧になっている就活（就職活動）中の皆様で、アクチュアリー採用試験やセミナーで数学の問題を出題された方におかれましては、
出された問題の情報をご提供下さる
とこれから受験される方にも役立つこととなり、大変ありがたいです。
いただいた情報は随時当ブログで紹介し、今回のように私にできる範囲で解答案を付けていきたいと思います。


方法としては、
○メール（ａｃｔｕａｒｙ＿ｍａｔｈ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏ．ｊｐ：全角はすべて半角にしてください）
○ｔｗｉｔｔｅｒ（ http://twitter.com/actuary_math ）での（Ｒｅ）Ｔｗｅｅｔ、ＤＭ*1
○本ブログへのコメント
○ご自身のブログから、本エントリー（ http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100205 )へのトラックバック*2
のいずれの方法でも結構です。


さて、問題の解答案に移ります。ほとんどが高校数学の範囲内で解決可能な問題ですが、中に厄介な計算を含むものも混じっています。


（１）

・0〜πでsinｘとsin2xに囲まれた範囲の面積

x=0,\piでは明らかに\sin x=\sin 2x=0ですが
それ以外（つまり[tex:0

・e^(x)*cos(x+a)のテーラー展開

これが、どこの周りの（x=0の周りかどうか）具体的に最初の数項を求めるものか、それとも無限級数展開を求めるものかはこの記述だけからは判別できませんが、ここではx=0の周りの無限級数展開（つまりマクローリン展開）として考えます。


（２０１０／２／９　ttrrさんのご指摘に従って以下書き換え）


g(x)=\exp(x)\exp(ix+ia)をテーラー展開して実部をとります。
g(x)=\exp(ia)\exp\{(1+i)x\}
=\exp(ia)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n!}x^n
ここで、
(1+i)=\sqrt{2}\exp\left(\frac{i\pi}{4} \right)
なので、
(1+i)^n=(\sqrt{2})^n\exp\left(\frac{in\pi}{4} \right)


（２０１０／２／１１　ttrrさんのご指摘に従って以下更に書き換え）

これより、
Re\{g(x)\}=\sum_{n=0}^{\infty} Re\left\{\frac{(\sqrt{2})^n \cdot \exp\left(ia+\frac{in\pi}{4}\right)}{n!}x^n\right\}
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\sqrt{2})^n \cos \left(a+\frac{n\pi}{4}\right)}{n!}x^n
…（答）

なお、
\cos \left(a+\frac{n\pi}{4}\right)=\left{ \begin{array}{ll} \cos a && (n \equiv 0 \, (mod \, 8)) \\ \frac{\sqrt{2}(\cos a - \sin a)}{2} && (n \equiv 1 \, (mod \, 8)) \\ -\sin a && (n \equiv 2 \, (mod \, 8)) \\ \frac{\sqrt{2}(-\cos a - \sin a)}{2} && (n \equiv 3 \, (mod \, 8)) \\ -\cos a && (n \equiv 4 \, (mod \, 8)) \\ \frac{\sqrt{2}(-\cos a + \sin a)}{2} && (n \equiv 5 \, (mod \, 8)) \\ \sin a && (n \equiv 6 \, (mod \, 8)) \\ \frac{\sqrt{2}(\cos a + \sin a)}{2} && (n \equiv 7 \, (mod \, 8)) \end{array} \right.
となる。


（３）

・√(1−2x)　の0〜1/2までの定積分

\int_0^{1/2} \sqrt{1-2x}dx
=-\frac{1}{2}\int_1^0 \sqrt{t}dt
（t=1-2xとおくとdt=-2dx）
=\frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{t}dt
=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}[t^{3/2}]_0^1
=\frac{1}{3}…（答）


（４）

・n+2/n(n+1)2^n　の無限和

これは
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n(n+1)2^n}
という前提で考えます。
[tex:0*3
となります。
ここで[tex:-1（別解）（ttrrさんのコメントに従い2010/02/11追加）
2\left(\frac{1}{n \cdot 2^n}-\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}\right)
=\frac{2(n+1)-n}{n(n+1)\cdot 2^n}
=\frac{n+2}{n(n+1)\cdot 2^n}
より、
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n(n+1)2^n}
=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n \cdot 2^n}-\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}\right)
=2\frac{1}{1 \cdot 2^1}
=1


（５）

・e^(x^2−x)*logxの導関数

\{\exp(x^2-x)\cdot\log(x)\}'
=\{\exp(x^2-x)}'\cdot\log(x)+\exp(x^2-x)\cdot\{\log(x)\}'
=(2x-1)\cdot\exp(x^2-x)\cdot\log(x)+\frac{\exp(x^2-x)}{x}
=\left\{(2x-1)\log(x)+\frac{1}{x}\right\}\exp(x^2-x)…（答）


（追記）
上記のエントリーで

アクチュアリー枠に入ることとアクチュアリー試験のことを例えで「東大に入るよりも鉄緑会に入る方が難しい」と言う人がいるけど、その通りだと思う。

とあったので、これについて蛇足ながらコメントしておきます。


このたとえを続けると（いつも申し上げていることですが）
「鉄緑会に入ることは東大に入るための必要条件でも十分条件でもない」
となります。*4


このブログでは一応「アクチュアリー試験」（特に１次試験）の合格を主なテーマに掲げています。アクチュアリー採用とアクチュアリー試験との関係については何度か申し上げたのですが、実際には、「アクチュアリー試験」に合格することすらゴールではなく、スタートに過ぎません*5。
いわんや、「アクチュアリー採用」をや、です。

*1:メールや（ｔｗｉｔｔｅｒの）ＤＭ等での情報のご提供の場合は、ご自身のお名前（又はハンドルネーム）と受験された会社名の公表の可否もお伝えくだされば幸いです。

*2:トラックバックＵＲＬは上記のパーマリンクと同じです。また、はてなダイヤリーを使われている方は、リンクのＵＲＬを記述するだけで自動でトラックバックされます。

*3:厳密に言うと、ここで、和の順序交換を行っています。[tex:-1

*4:鉄緑会の「講師」は東大生ｏｒ東大出身者でないといけないようですが…

*5:これは「東大」でも同じだと思いますが…